Das einschalige Hyperboloid

Ein einschaliges Hyperboloid (Abbildung) ist eine reguläre Fläche zweiter Ordnung. Liegt das Hyperboloid in Normalform vor (d.h. die Hauptachsen der Fläche fallen mit den Koordinatenachsen zusammen), so entstehen Hyperbeln als Schnittfiguren von Ebenen parallel zu den Koordinatenebenen, in zwei Koordinatenrichtungen gesehen. Diese Hyperbeln verleihen dem Hyperboloiden den griechischen Namen: "eine Hyperbel zeigend". Die Schnittfiguren in Richtung der dritten Koordinate sind Ellipsen.

Die Bezeichnung als einschaliges Hyperboloid unterscheidet diese zusammenhängende Fläche zweiter Ordnung vom zweischaligen Hyperboloid, dessen Punktmenge in zwei getrennte räumliche Gebilde separiert.

Abbildung: Einschaliges Hyperboloid mit der Flächengleichung   $x^2+y^2-z^2-1=0$

Die allgemeine Flächengleichung eines einschaligen Hyperboloids in Normalform lautet   $a·x^2+b·y^2+c·z^2+d=0$   mit $a,b>0$ und $c,d<0$. In der Normalform wird das einschalige Hyperboloid so ausgerichtet, dass die Schnittfiguren mit Ebenen in $z$-Richtung, parallel zur $x$-$y$-Koordinatenebene, die Ellipsen sind. Dabei werden die Schnittfiguren des einschaligen Hyperboloids mit den Koordinatenebenen als Hauptschnitte bezeichnet.

Die Flächengleichung in Normalform kann mit Division durch $d$ in eine Gleichung   $\frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}-\frac{z^2}{r^2}=1$   umgeformt werden. Aus dieser Gleichung lassen sich mit $p$ und $q$ die halben Scheitelachsenlängen der Hyperbeln der Hauptschnitte direkt ablesen. Zudem stellt $r$ die große Halbachse der Ellipse des Hauptschnittes in $z$-Richtung, der sogenannten Kehlellipse, dar.

Stimmen die beiden Parameter $p$ und $q$ überein, so wird das einschalige Hyperboloid als einschaliges Rotationshyperboloid bezeichnet.

Für jedes einschalige Hyperboloid der Form   $\frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}-\frac{z^2}{r^2}=1$   lassen sich zwei Scharen geradliniger Erzeugender feststellen. Als geradlinige Erzeugende einer Fläche wird eine Gerade bezeichnet, die ganz in der Fläche liegt. Die Gleichungen dieser Geradenscharen ergeben sich als Schnitte zweier Ebenenscharen:

Erzeugendenschar I	$\frac{x}{p}+\frac{z}{r}=u\cdot \left(1+\frac{y}{q}\right)$	$u\cdot \left(\frac{x}{p}-\frac{z}{r}\right)=1-\frac{y}{q}$
Erzeugendenschar II	$\frac{x}{p}+\frac{z}{r}=v\cdot \left(1-\frac{y}{q}\right)$	$v\cdot \left(\frac{x}{p}-\frac{z}{r}\right)=1+\frac{y}{q}$

Die Parameter $u$ und $v$ sind beliebige reelle Zahlen. Durch jeden Flächenpunkt des einschaligen Hyperboloids verlaufen zwei Geraden: eine Erzeugende der Schar I und eine Erzeugende der Schar II.