Konstruieren mit Zirkel und Lineal

Die antike Mathematik verstand unter der Konstruktion geometrischer Elemente das Konstruieren nur mit Zirkel und Lineal. Worauf dieses Verständnis von Geometrie gründet, beschreibt Platon in seinem Dialog Philebos:

"Ich versuche also als Schönheit der Gestalten dir nicht, was wohl die meisten glauben möchten, zu erklären, etwa die der lebenden Körper oder die gewisser Gemälde, sondern ich nenne erklärend das Gerade und das Runde und davon wiederum die Flächen und Körper, welche durch Drehungen entstehen, oder durch Lineal und Winkelmaß bestimmt sind, [D] wenn du mich verstehst. Denn diese, sage ich, sind nicht in Beziehung auf etwas schön wie anderes, sondern immer sind sie ihrer Natur nach schön, und haben eine eigentümliche Lust, die nichts mit der des Kitzels zu schaffen hat."
(zitiert nach: Platon: Philebos, 51 C. Übersetzung von Friedrich Schleiermacher)

Dieser Dialog ist eine der wenigen antiken Quellen (wenn nicht gar die einzige Quelle), in der die Beschränkung auf Zirkel und Lineal für geometrische Grundoperationen gefordert und zugleich rechtfertigt wird.

Geometrisch betrachtet, basiert das Konstruieren mit Zirkel und Lineal auf den von Euklid in den Elementen vorgegebenen Postulaten (Euklid: Die Elemente, Postulate, S. 2.):

• dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann (Postulat 1),
• dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann (Postulat 2)
• dass man mit jedem Mittelpunkt und jedem Abstand den Kreis zeichnen kann (Postulat 3).

Es gibt jedoch geometrische Problemstellungen, die sich mit dem strengen Verständnis der Konstruierbarkeit als nicht konstruierbar herausstellten. Eine große Bekanntheit erlangten die sogenannten drei klassischen Probleme der antiken Mathematik: die Quadratur des Kreises, die Dreiteilung des Winkels und die Verdopplung des Würfels.

Mit dem Verzicht auf die strenge Interpretation der Konstruierbarkeit und durch Zulassung weiterer Hilfsmittel (etwa das Zulassen einer Maßeinteilung des Lineals) lassen sich die klassischen Probleme konstruktiv lösen, wie bereits von Archimedes bei der Dreiteilung des Winkels nachgewiesen wurde.