Die Hyperbel als Kegelschnitt
Eine Hyperbel wird geometrisch als Punktmenge der Ebene definiert, für deren
Punkte die Differenz der Abstände von zwei Brennpunkten einen konstanten Betrag hat. Zu untersuchen ist,
ob die ebene
Schnittfigur, die beim Schnitt einer Ebene mit einem geraden Doppelkegel entsteht, ebenfalls eine Hyperbel ist. Dazu
werden in den Doppelkegel auf eine bestimmte Art und Weise zwei
Dandelinsche Kugenl (benannt nach Germinal Pierre Dandelin, 1794-1847)
einbeschrieben und es wird mit Hilfe der Kugeln gezeigt, dass für alle Punkte der Schnittfigur die Brennpunkteigenschaft der
Hyperbel gilt.
Ein gerader Doppelkegel werde derart von einer Ebene geschnitten, dass diese die Kegelspitze nicht enthält,
dass die Ebene nicht senkrecht zur Kegelachse und nicht parallel zu einer Mantellinie des Kegels verläuft und dass Mantellinien
auf beiden Seiten der Kegelspitze geschnitten werden. Es entsteht eine ebene Schnittfigur, bestehend aus zwei Ästen.
In den Doppelkegel werden zwei Kugeln mit
dem Mittelpunkt auf der Kegelachse, bezeichnet als Dandelinsche Kugeln, einbeschrieben.
Die erste Kugel wird unterhalb der Kegelspitze so festgelegt, dass sie die Schnittebene in genau einem Punkt
und den Kegel auf
einer Kreislinie berührt.
Aufgrund der Symmetrie des geraden Kegels und der Kugel liegt die Kreisebene des horizontalen Berührungskreises
senkrecht zur Kegelachse.
Die zweite Kugel wird oberhalb der Kegelspitze so in den Kegel einbeschrieben, dass auch sie
die Schnittebene in genau einem Punkt und den Kegel auf
einer Kreislinie berührt. Auch hier liegt die Kreisebene des
horizontalen Berührungskreises senkrecht zur Kegelachse.
Da die Schnittebene die Kegelspitze nicht enthält, existieren beide Kugeln und sind in ihrem Radius und ihrer Lage
eindeutig (Abbildung 22).
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Abbildung 22: Dandelinsche Kugeln am Doppelkegel.
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Es sei ein allgemeiner Punkt der Schnittfigur. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit soll
der Punkt auf dem unteren Ast der Schnittfigur liegen. Der Punkt liegt auf einer
Mantellinie des geraden Kreiskegels. Auf dieser Mantellinie
liegen auch ein Berührungspunkt des Kreises
, die Kegelspitze und ein Berührungspunkt
des Kreises
(Abbildung 23).
In der genaueren Betrachtung der Strecken
und
wird offensichtlich,
dass diese Strecken Tangentenabschnitte
über derselben Kugel und vom selben Punkt ausgehend sind, es gilt somit für jeden Punkt der Schnittfigur
.
Gleicherart sind sind die Strecken
und der Abschnitt der Mantellinie
Tangentenabschnitte
über derselben Kugel und vom selben Punkt ausgehend. Auch hier gilt somit für jeden Punkt der Schnittfigur
.
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Abbildung 23: Hyperbel als Kegelschnitt.
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Die Parallelität der beiden Kreisebenen und
wegen ihrer Lage senkrecht zur Kegelachse führt dazu, dass die entsprechenden
Abschnitte der Mantellinie des geraden Kreiskegels,
die Strecken ,
für jeden Punkt der Schnittfigur gleichlang sind. Diese konstante Länge kann
als definiert werden. Es gilt also
für jeden Punkt .
Aufgrund der Festlegung der Dandelinschen Kugeln und der Lage von ,
und auf der gleichen Mantellinie
gilt auch für jeden Punkt der Schnittfigur:
.
Mit den oben betrachteten Tangentenabschnitten und den Beziehungen
und
folgt dann
und mit
und der Umstellung nach folgt
für jeden Punkt der Schnittfigur.
Die Einbeschreibung der Dandelinschen Kugeln und damit die Festlegung der Punkte
und
erfolgte unveränderlich und unabhängig von der Wahl des allgemeinen Punktes
der Schnittfigur. Analog zur Betrachtung des allgemeinen Punktes im unteren Ast der Schnittfigur
kann vorgegangen werden durch die Betrachtung eines Punktes im oberen Ast der Schnittfigur. Insgesamt ergibt sich:
Für jeden Punkt der Schnittfigur ist die Differenz der Abstände von zwei
gegebenen festen Punkten (Brennpunkten) und
im Betrag stets konstant, mithin ist der betrachtete Kegelschnitt eine Hyperbel.
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