Eine Klassifikation der Kurven zweiter Ordnung
Die aus der allgemeinen Kegelschnittgleichung gewonnenen
zentralsymmetrischen Kegelschnittgleichung und nichtzentralsymmetrische Kegelschnittgleichung werden hinsichtlich ihrer
Koeffizienten systematisch betrachtet und es werden die entsprechenden Kurven zweiter Ordnung in ihrer geometrischen
Ausprägung klassifiziert. Insgesamt lassen sich 9 mögliche Fälle unterscheiden. Sechs dieser Fälle sind Kurven,
die als entartete Kegelschnitte bezeichnet werden, davon haben zwei Kurven keine reellwertige
Lösung und stellen deshalb kein geometrisches Gebilde dar. In drei Fällen liegen mit der Ellipse,
der Hyperbel und der Parabel echte Kegelschnitte vor.
Kegelschnitte mit Symmetriezentrum
Untersucht werden die Koeffizienten der zentralsymmetrischen Kegelschnittgleichung
.
Koeffizienten |
Beispielgleichung |
Geometrisches Gebilde |
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Ellipse |
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leere Menge |
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Punkt |
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Hyperbel |
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Paar sich schneidender Geraden |
Kegelschnitte ohne Symmetriezentrum
Untersucht werden die Koeffizienten der nichtzentralsymmetrischen Kegelschnittgleichung
.
Koeffizienten |
Beispielgleichung |
Geometrisches Gebilde |
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beliebig |
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Parabel |
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Paar paralleler Geraden |
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Gerade |
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leere Menge |
Die vorliegende Kurvenklassifikation weist nach, dass tatsächlich alle Lösungen der allgemeinen Gleichung zweiten Grades
Kegelschnitte sind. Die entarteten Kegelschnitte als Lösungen der Gleichung
sind dabei Spezialfälle. So ergibt sich das Paar paralleler Geraden in dem besonderen Fall,
dass der Doppelkegel mit seiner Spitze im Unendlichen liegt, d.h. dass er zum Zylinder entartet.
In der weiteren Untersuchung der Kegelschnitte wird aber
im Allgemeinen nicht weiter auf diese Spezialfälle eingegangen.
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